题目网址：
https://www.luogu.com.cn/problem/P1072

题目描述

Hanks 博士是 BT（Bio-Tech，生物技术）领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整数 x 满足：

1. x 和 a0 的最大公约数是 a1；
2. x 和 b0 的最小公倍数是 b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的 x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0,a1,b0,b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。

输出格式

共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0，若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

输入输出样例

输入 #1

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

输出 #1

6 
2

说明/提示

【样例解释】

第一组输入数据，x 可以是 9,18,36,72,144,288，共有 6 个。

第二组输入数据，x 可以是 48,1776，共有 2 个。

【数据范围】

• 对于 50% 的数据，保证有 1≤a0,a1,b0,b1≤10000 且 n≤100。
• 对于 100% 的数据，保证有 1≤a0,a1,b0,b1≤2×109 且 n≤2000。

NOIP 2009 提高组 第二题

题解：

算法思路：因数枚举与数学验证

核心思想

关键性质：

由条件 2 可知 x一定是 b1的因数（lcm(x,b0)=b1推出 x∣b1）

优化策略：

枚举 b1的所有因数

对每个因数 x验证两个条件：

gcd(x,a0)=a1

lcm(x,b0)=b1（通过 x×b0=b1×gcd(x,b0)避免溢出）

数学推导

代码详细注释

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

// 计算最大公约数（欧几里得算法）
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;  // 数据组数
    
    while (n--) {
        int a0, a1, b0, b1;
        cin >> a0 >> a1 >> b0 >> b1;  // 输入参数
        
        vector<int> factors;  // 存储 b1 的因数
        int sqrt_b1 = sqrt(b1);
        
        // 枚举因数（1 ~ sqrt(b1))
        for (int i = 1; i <= sqrt_b1; i++) {
            if (b1 % i == 0) {
                factors.push_back(i);           // 添加较小因数
                if (i != b1 / i) {
                    factors.push_back(b1 / i);  // 添加配对大因数
                }
            }
        }
        
        int ans = 0;  // 符合条件的 x 的个数
        for (int x : factors) {
            // 条件 1 检查：gcd(x, a0) 必须等于 a1
            if (gcd(x, a0) != a1) continue;
            
            // 计算 gcd(x, b0) 并验证条件 2
            int g = gcd(x, b0);
            long long left = static_cast<long long>(x) * b0;     // 左：x * b0
            long long right = static_cast<long long>(b1) * g;    // 右：b1 * gcd(x, b0)
            
            // 条件 2 等价验证
            if (left == right) {
                ans++;
            }
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

关键步骤图解

1. 因数枚举过程

示例：b1 = 12
  枚举 i=1~3：
    i=1: 12%1=0 → factors.add(1,12)
    i=2: 12%2=0 → factors.add(2,6)
    i=3: 12%3=0 → factors.add(3,4)
  最终因数: [1,12,2,6,3,4]

2. 条件验证示例（a0=4, a1=2, b0=6, b1=12）

总计数：0

3. 数学等价原理

lcm(x,b0) = b1
   x × b0 / gcd(x,b0) = b1
   x × b0 = b1 × gcd(x,b0)

复杂度分析