在本合集的上一篇文章完成了目标函数的泰勒展开，得到了形如(4)式的函数：
接下来，求其最小值。
1.(4)式的变体
先引入几个新的变量和函数定义：
Ij：若特征空间X存在划分I1, I2,…,Im 则 Ij 是该划分的一项，即X的第j个子集。对于XGBoost树，Ij包含且只包含所有映射到某一个叶子节点的特征值。
q(xi)：一个以特征空间为出发域，以叶子节点索引值为到达域的映射，即给定一个输入项xi，得到一个叶子节点的索引。
ωq(xi)：既然q(xi)是叶子节点的索引，那么ωq(xi)就是该叶子节点的值（或权重）。参考本合集第4篇文章关于fk的定义可知：
在XGBoost树中，n维特征向量映射了T个叶子节点值，因此有：
将（5）式替换（4）式相同的项得：
至此，第t颗树的目标函数中仅ωj未知，即obj是关于ωj的函数，因此可记为：
2.目标函数的最小值
由（6）式可知，z(ωj)是一开口向上的二次抛物线，因此在其导数为0处取得最小值。
如前所述obj是以X的划分为出发域，以全体ωj为到达域的映射，而X的划分的各子集是相互独立的，因此对于任一叶子节点：